একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০,২১,২৯ মি হলে ক্ষেত্রফল কত?

ব্যাখ্যাঃ

দেওয়া আছে, ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০ মি, ২১ মি এবং ২৯ মি।

প্রথমেই আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean theorem) ব্যবহার করে ত্রিভুজটি সমকোণী কিনা তা যাচাই করব। যদি \(a, b, c\) একটি ত্রিভুজের বাহু হয় এবং \(c\) বৃহত্তম বাহু হয়, তবে \(a^2 + b^2 = c^2\) হলে ত্রিভুজটি সমকোণী।

ক্ষুদ্রতর দুটি বাহুর বর্গের যোগফল:

\[20^2 + 21^2\] \[= 400 + 441\] \[= 841\]

বৃহত্তম বাহুর বর্গ:

\[29^2 = 841\]

যেহেতু \(20^2 + 21^2 = 29^2\), অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতর দুটি বাহুর বর্গের যোগফল বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান, অতএব ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled triangle)।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}\]

এখানে, ভূমি এবং উচ্চতা হলো সমকোণ সৃষ্টিকারী দুটি বাহু, অর্থাৎ ২০ মি এবং ২১ মি।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল:

\[= \frac{1}{2} \times 20 \times 21\] \[= 10 \times 21\] \[= 210 \text{ বর্গমিটার}\]

বিকল্প পদ্ধতি: হিরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করে সাধারণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়।

ত্রিভুজের অর্ধ-পরিসীমা (semi-perimeter), \(s\):

\[s = \frac{20 + 21 + 29}{2}\] \[s = \frac{70}{2}\] \[s = 35 \text{ মি}\]

হিরনের সূত্রানুযায়ী ক্ষেত্রফল:

\[\text{ক্ষেত্রফল} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\] \[= \sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)}\] \[= \sqrt{35 \times 15 \times 14 \times 6}\] \[= \sqrt{(5 \times 7) \times (3 \times 5) \times (2 \times 7) \times (2 \times 3)}\] \[= \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5^2 \times 7^2}\] \[= 2 \times 3 \times 5 \times 7\] \[= 210 \text{ বর্গমিটার}\]

অতএব, ত্রিভুজাকৃতি মাঠটির ক্ষেত্রফল ২১০ বর্গমিটার।